Question

设函数

（1）当时，求的最小值；

（2）对，恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）对的取值分类讨论将绝对值号去掉后利用二次函数的性质即可求得每个分段上的最值，从而求解；（2）根据条件由，，得，再以此为前提去掉中的绝对值号，求的最小值，即可求解．

试题解析：（1）当时，，

时，，当且仅当时，等号成立，

时，，当且仅当时，等号成立，∴当时，的最小值为；

（2）由，，即，，得，又当时，

若：，

若：，

若：，

综上可知时，对对，恒成立故．

考点：1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想；3．恒成立问题．

【思路点睛】关于恒成立问题可通过参变分离将其转化为函数最值问题来考虑，常见的重要结论有：

1．设在某个集合上有最小值，为常数，则在上恒成立的充要条件是；

2．设在某个集合上有最大值，为常数，则在上恒成立的充要条件是．