Question

已知抛物线（）的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．

（Ⅰ）分别求抛物线和椭圆的方程；

（Ⅱ）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）抛物线的焦点是，说明，得，对椭圆来讲，中心是原点，其焦点在轴，是其顶点，说明，又离心率，联立可解得，方程即得；（2）本小题采用解析几何的通用方法，设直线方程为（说明一定存在），，把直线方程与抛物线方程联立方程组，可得（用表示），再由导数法写出抛物线在两点处的切线方程，联立求得交点坐标（用表示），题目要证，就是要证，计算即可．

试题解析：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为．

设椭圆的方程为，半焦距为．由已知可得：

,解得 ．所以椭圆的方程为：．

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，

故可设直线的方程为 ，

由, 消去并整理得 ∴ ．

∵抛物线的方程为，求导得，

∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,

即，，

解得两条切线的交点的坐标为，即，

,

∴．

考点：抛物线标准方程，椭圆标准方程（待定系数法），直线与圆锥曲线的综合问题．

【名师点睛】直线的圆锥曲线相交问题通常采用“设而不求”的方法．设交点坐标为，设直线方程，代入圆锥曲线方程消去得关于的二次方程，由韦达定理得，，再把题中与交点有关的已知条件、要证明的结论等用交点坐标表示出来，最终用表示刚才的，代入转化变形可解决问题．