Question

设函数（），．

（1）若函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围；

（2）若对任意，都有唯一的，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）因为函数在定义域内单调递减，所以在区间恒成立，转化为在恒成立，讨论二次函数或分离参数即可．（2）利用导数研究函数在区间上的值域为，构造函数，将问题转化为，存在唯一的，使得成立，即转化为函数在区间上单调，且，得用导数求之即可．

试题解析：（1）法一：，由题：在恒成立，

即：在恒成立，

则：，得：

或，故得：，综上：

法二：，由题：在恒成立，

即：在恒成立，

即

令，，由基本不等式可知，，当且仅当即时，函数有最小值，所以

（2），在上单调递增，在上单调递减，

且，，，的值域为，

记，，

原问题等价于：，存在唯一的，使得成立．

，

①当时，恒成立，单调递减，由，

，解得：

②当时，恒成立，单调递增，，不合题意，舍去

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

且，，

要满足条件则，

综上所述：的取值范围是

考点：1．导数与函数的单调性、极值；2．函数与方程；3．函数与不等式．

【名师点睛】利用导数研究函数在内的单调性的步骤：（1）求；（2）确认在 内的符号；（3）作出结论：时为增函数；时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域．