Question

已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，均有成立．

（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；

（2）已知函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数,使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）属于集合，理由见解析；（2），；（3）存在时，．

【解析】

试题分析：（1）由题意，判断函数对定义域内的任意两个自变量，是否有

成立，根据的范围及绝对值的性质可解决；（2）由意义，转化出

成立，所以即可；（3）假设存在，得：，

只需求的最小值即可．

试题解析：（1）任取，

∵ ∴ ∴ ∴

即成立，属于集合

（2）∵，

∴使得任意，均有成立．

即存在

∴

（3）若，则对任意的都成立．

即 ∴

∵∴ ∴，

∴当时，；当时，．

考点：1、绝对值的性质；2、函数的最值；3、绝对值不等式的恒成立；4、集合的概念．

【方法点晴】本题主要考查的是利用绝对值不等式的性质、解决含参绝对值不等式及绝对值不等式恒成立问题，属于难题．注意本题中涉及绝对值不等式，要善于运用相关绝对值的性质，同时含参数恒成立问题，要学会分离参数，转化为求函数最值问题．