Question

我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地．如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，．设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）．

（1）试用表示，并求的取值范围；

（2）求总造价关于面积的函数；

（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）．

Answer

（1） ，；（2），；（3）选取的长为12米或18米时总造价最低．

【解析】

试题分析：（1）根据图形及三角函数写出矩形面积，再根据二次函数知识求的取值范围；（2）由题意，两部分造价之和即为所求，；（3）根据，使用均值不等式求最值，并注意等号成立的条件．

试题解析：（1）在中，显然，，

，

矩形的面积，

于是为所求．

（2） 矩形健身场地造价,

又的面积为，即草坪造价，

由总造价，，．

（3），

当且仅当即时等号成立，

此时，解得或，

答：选取的长为12米或18米时总造价最低．

考点：1、二次函数的值域；2、均值不等式；3、实际问题中的函数．

【方法点晴】本题主要考查的是函数在实际问题中的应用，及函数定义域值域和均值不等式求最值，属于难题．在实际问题中，要特别注意函数定义域的实际意义，根据函数形式选取合适方法求其值域，在运用均值不等式时，注意等号成立的条件．