Question

设函数，，为常数．

（1）用表示的最小值，求的解析式；

（2）在（1）中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出的

值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）0．

【解析】

试题分析：（1）函数为二次函数，其最小值与其对称轴相关，当对称轴变化时，最小值也在发生变化，在区间上，要对对称轴的三种情况（对称轴在区间上，区间左侧，区间右侧）分别进行求最小值；（2）关于的分段函数，要使得恒成立，只要求出的最大值，即可确定的取值范围，从中选择最小的整数即可．

试题解析：（1）对称轴

① 当时，在上是增函数，当时有最小值

②当时，在上是减函数，时有最小值

③当时，在上是不单调，

时有最小值

（2）存在， 由题知在是增函数，在是减函数

时，，

恒成立，

为整数，的最小值为

考点：函数的单调性与最值．

【思路点睛】当二次函数中存在参数时，其最值往往无法直接求出；因为二次函数在区间上单调性不一致时，其最大（小）值在对称轴处取得，所以首先要对对称轴的不同情况进行分析，求出最值的所有可能，这些最值都是在一段区间上的最值，在这些最值中找出最大（小）值，即可求出函数在定义域上的最大（小）值．