Question

二次函数满足且．

（1）求的解析式；

（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围．

Answer

（1）f（x）=x2﹣x+1；（2）．

【解析】

试题分析：（1）题中已经说明为二次函数，应假设，将函数代入已知的关系式中，并结合，求出参数，，即可；（2）将图象关系转换为函数关系即在，恒成立，利用函数的单调性求出在上的最小值，即可求出的取值范围．

试题解析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．

因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，

所以，∴，

所以f（x）=x2﹣x+1

（2）由题意得x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．

即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．

设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．

故只需g（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，解得m＜﹣1．

考点：1、求函数解析式；2、函数单调性的运用．