Question

已知，设函数．

（1）若时，求函数的单调区间；

（2）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最大值及此时的值．

Answer

（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）见解析。

【解析】

试题分析：（1）当时，易得函数在，单调递增区间，在单调递减区间；（2）由题意，需求出函数在上的最大值与最小值，解不等式，由于函数与a有关，需分类讨论，①当时，，在单调递增；②当时，，在单调递减，在单调递增，当时，，在单调递减，在单调递增，从而求得最值。

试题解析：（1）当时，，

函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（2）

①当时，，在单调递增，

，由题意得，即，

解得，

令，在单调递减，

所以，即当时，．

②当时，，在单调递减，

在单调递增，，

满足，，由题意得，

即，解得，

令，在单调递增，

所以，即当时，．

③当时，，在单调递减，

在单调递增，，

满足，，由题意得，

即，解得，

同②得在单调递增，

所以，即当时，，

综上所述，，此时．

考点：函数的单调性、函数恒成立问题