Question

如图所示，椭圆与直线相切于点．

（1）求满足的关系式，并用表示点的坐标；

（2）设是椭圆的右焦点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆的标准方程．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意，直线与椭圆方程联立消y可得关于x的一个一元二次方程，令判别式为0，可得到A的坐标；（2）法一：到直线的距离，因是等腰直角三角，利用即可得到关于a，b的一个方程，再由（1）可解得a，b，c；法二：先求出直线的方程为，联立直线的方程可得B的坐标，再由即可得到；法三：可以用辅助线三角形全等得到。

试题解析：【解析】
（1）联立方程组消元得：

①

相切 得： ② …4分

将②代入①式得： 解得

（2）解法1： 到直线的距离， 是等腰直角三角形

由②可得：代入上式得：

得 即

又

椭圆的标准方程为：

解法2：

直线的方程为

由

解得：

解得

又

椭圆的标准方程为：

解法3：由方法二得

分别过做轴的垂线，垂足分别为

是等腰直角三角形

又，

得

又

椭圆的标准方程为：

考点：椭圆及其方程