Question

（本题满分15分）如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，

（1）求证：AC⊥BD；

（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C－AD－B的余弦值。

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明线线垂直，一般通过线面垂直得到，本题一种是证明平面，从而得到，另一种是证明⊥平面得到；（2）一种是找出二面角的平面角，解三角形得到，另一种是直接建立空间直角坐标系。

试题解析：

（1）证明（方法一）：∵，，．

∴． ∴．

取的中点，连结，则，．

又∵，

平面，平面，

∴平面，

∴

（方法二）：过作⊥于点．连接．…1分

∵，，．

∴．∴ ⊥．

又∵，

平面，平面，

∴⊥平面．

又∵平面，

∴．

（方法三）：

，

∴．

（2）解（方法一）：过作⊥于点．则平面，

又∵平面⊥平面，平面平面，

∴⊥平面．

过做⊥于点，连接．

∵⊥平面，∴⊥，又，

∴⊥平面，∴⊥．

∴为二面角的平面角．

连接．∵，∴ ⊥．

∵，，

∴，．∵，∴．

∴ ∴．

∴，

∴．

∴二面角的余弦值为．

（方法二）：由（1）过作⊥于点，连接

∵，∴ ⊥．

∵平面⊥平面， ∴⊥．

分别以为轴建立空间直角坐标系．

∵，，

∴，．

∵，∴．

．

可得，．

设平面的法向量为，

则，取，

得一个．

取平面的法向量为．

．

∴二面角的余弦值为．

考点：空间立体几何中的垂直关系，二面角大小