Question

已知函数的图象过坐标原点O，且在点处的切线的斜率是．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为； （Ⅲ） 存在满足题设要求的两点P、Q，理由见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导，利用导数的几何意义可求实数、的值；（Ⅱ）利用导数结合单调性求最值；（Ⅲ） 利用向量知识，把是以为直角顶点的直角三角形转化为方程是否有实根的问题来解决．

试题解析：（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即 解得……………．3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，令得

又，，。∴在上的最大值为2．

②当时， ．当时， ，最大值为0；

当时， 在上单调递增。∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为……7分

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴．

即 （*）

若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得： 即 （**）

令 ，则

∴在上单调递增， ∵ ∴，∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求最值；3、导数与单调性；4、向量的数量积．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、导数的几何意义，属于难题．利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根．