Question

已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点A，B是椭圆C上的任意两点， O是坐标原点，且OA⊥OB．

①求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值；

②任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）先椭圆离心率为，短轴端点到焦点的距离为2，再由得的值，求出椭圆的方程；（2）①联立直线与椭圆的方程，利用舍而不求法把用表示出来，进一步利用点到直线的距离公式证明原点O到直线AB的距离为定值；②利用弦长公式求得的最大值，由①知点P到直线AB的距离的最大值，进而可得面积的最大值．

试题解析：（1）因为椭圆C：，短轴端点到焦点的距离为2，所以，椭圆的方程为．

（2）①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，原点O到直线AB的距离为；

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为AB

由，

，，

所以原点O到直线AB的距离，

综上，原点O到直线AB的距离为．

②当直线AB的斜率不存在时

当直线AB的斜率存在时

当时，，当时等号成立；

k=0时所以的最大值为．

由①知点P到直线AB的距离的最大值为，所以．

考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆；3、韦达定理；4、点到直线的距离．

【易错点睛】设直线的方程时，要分斜率存在和不存在两种情况，由斜率不存在这种特殊情况先得到到直线的距离值，再计算斜率存在时到直线的距离值，若只考虑斜率存在，则很容易出错．