Question

已知是函数的一个极值点．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）的增区间是（-1，1），；减区间是（1，3）；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导，利用极值点处导函数值为0，可求得值；（Ⅱ）利用导函数等于0得极值点，根据导函数的符号列表得单调区间；（Ⅲ）画出函数的简图，由数形结合得的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ），

是函数的一个极值点．

（Ⅱ）由（Ⅰ），

令，得 -- 6分

和随的变化情况如下：

x

（-1，1）

1

（1，3）

3

+

0

-

0

+

增

极大值

减

极小值

增

的增区间是（-1，1），；减区间是（1，3）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知的增区间是（-1，1），；减区间是（1，3），所以

，又，据此可画出函数的草图，由图可知直线与函数的图像有个交点， 的取值范围为

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．