Question

已知函数为偶函数，关于的方程的构成集合．

（1）求的值；

（2）若，求证：；

（3）设，若存在实数使得，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由函数为偶函数，可得，又于的方程的构成集合，即只有一个根，利用判别式即可求解的值；（2）根据偶函数性质将所证明问题转化为对任意的恒成立，构造函数，利用函数的性质求解；（3）存在实数使得，等价于，由（2）和题设条件得和，从而得，因此，所以可求出实数m的取值范围．

试题解析：（1）由f（x）为偶函数可知，b=0

方程 即

所以 解得

所以

（2）证明：由（1）得 ，当时，

所以对任意的恒成立

（3）由题意知，，即

由（2）知，当时，

所以当时，有最大值

考虑

所以

则

故

考点：1、函数恒成立问题；2、函数奇偶性的应用；3、二次函数的图象与性质．

【易错点睛】本题考查了函数恒成立问题、函数奇偶性的应用及二次函数的图象与性质综合应用，同时着重考查了数学的转化的思想方法，属于难度较大的试题，其中认真审题、合理转化为函数的性质求解是解答的关键和难点，本题中求解函数的最值是题目的一个易错点．