Question

已知函数是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）是否存在实数，当时，函数的值域是．若存在，求出实数；若不存在，说明理由；

（3）令函数，当时，求函数的最大值．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用函数的奇偶性，即可求得实数的值；（2）分类讨论，利用当，函数的值域是，可得结论；（3），，分类讨论，求得函数的最大值．

试题解析：（1）∵函数是奇函数.

∴

又 时，表达式无意义，所以

（2）由题设知： 函数f（x）的定义域为，

①当时，有. 此时f（x）为增函数，

其值域为 （与题设矛盾，无解）；

②当时，有a>3. 此时f（x）为减函数，

其值域为知

符合题意

综上①②：存在这样的实数满足条件，

（3）∵，

∴ 且

①当时，函数在上单调递减

所以

②当时，函数在上单调递增

所以

③当时，函数在上单调递增，在上单调递减

所以

综上①②③，

考点：1、函数的奇偶性与单调性的综合应用；2、函数的最值及其几何意义．

【易错点晴】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，函数的最值及其几何意义等知识，着重考查了数学的分类讨论的思想方法和学生分析、解决问题的能力，属于中档试题，解题关键是对函数在定义域上的合理分类讨论，同时也是试题的一个难点和易错点．