Question

小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23．77米，球网的中间部分高度为0．914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，轴在地平面上的球场中轴线上，轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．

（1）求发射器的最大射程；

（2）请计算在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2．55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标最大为多少？并请说明理由．

Answer

（1）20米；（2），击球点的横坐标 a最大为14．

【解析】

试题分析：（1）最大射程就是的最大值，是网球落地点的横坐标，由题意，只要解方程，即得，再由基本不等式可得的最大值；（2）要求球过网，实际上就是当时，，解此不等式可得的范围，下面的问题就是击球点纵坐标时，横坐标的最大值，要能击中球，因此关于k的方程在上有实数解．

试题解析：（Ⅰ）由得：或，

由，当且仅当时取等号．

因此，最大射程为20米；

（Ⅱ）网球发过球网，满足时．

所以，即，

因此

依题意：关于k的方程 在上有实数解

即

得，

此时，球过网了，

所以击球点的横坐标 a最大为14

考点：函数的应用．