Question

如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面．

（1）求证：；

（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．

Answer

（1）见解析；（2）为中点．

【解析】

试题分析：（1）题中已知面面垂直，由面面垂直的性质定理，要找与其交线垂直的直线，由原平面图形可知，因此有平面，从而；（2）题设条件出现的二面角，图形中又有垂直关系，因此我们以中点为原点，为轴，平行直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，再设，得，由已知平面与平面法向量夹角的余弦值为，可求得．

试题解析：（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM

∴BM⊥平面ADM

∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；

（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量，

，设平面AME的一个法向量为

，取y=1，得

所以，

因为，求得，

所以E为BD的中点．

考点：面面垂直的性质定理，二面角．

【名师点睛】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．