Question

已知，（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求函数在（）上的最小值；

（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，；当时，；

（Ⅲ）证明过程详见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在上是减函数等价于即也即在上恒成立，从而转化为最值问题求解；（Ⅱ）先求出函数的单调性，然后结合m的范围讨论区间与函数单调区间的关系，从而分和两种情况分别求解；（Ⅲ）证明不等式，当一边为和的形式，另一边为常数的，常将和的形式一边放缩为等比数列或放缩为一个可以裂项的数列求和，从而证明不等式。

试题解析：（Ⅰ）由题意知在上恒成立．

又，，则在上恒成立，

即在上恒成立．

而当时，，所以，

于是实数的取值范围是．

（Ⅱ）当时，则．

当，即时，；

当且，即和时，，

则的增区间为，减区间为和．

据此可得函数的大致图象，如图所示：因为，所以，

①当时，在上单调递减，在上单调递增，所以．

②当时，在上单调递增，所以．

综上，当时，；当时，．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，，所以（），

可得．

于是

．

考点：①由单调性求参数范围；②求含参数的函数的最值；③证明不等式。

【方法点睛】（1）（C为常数）型的不等式证明解法突破：将数列的通项放缩成可求和（或积）的形式，如放缩到“可裂项相消（或叠乘相消）”或压缩成等比数列的形式。但注意放缩常常是局部放缩即通常是数列的前一项或前两项不变，其它各项放缩。（2）当遇到一题多问，且是导数与数列的综合应用问题，一定要注意是否能利用导数法证明的不等式对数列的项进行放缩，即注意上下问的关联性。