Question

已知函数．

（1）求的单调区间和极值；

（2）设，且，证明：．

Answer

（1）的单调增区间是，单调减区间是

极小值， 无极大值．（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的定义域，然后对其进行求导，再分别令和，即可求出函数的单调递增区间和单调递减区间，进而得出其极值；（2）不妨设，将问题“”转化为“”，进而转化为“”，于是构造函数，然后对其进行求导，根据函数的单调性判断其函数的最值，进而得出证明的结论．

试题解析：（1）定义域为，，令，则∴；令则∴，∴的单调增区间是，单调减区间是

极小值， 无极大值．

（2）证明：不妨设，

，

两边同除以得，，令，则，即证：

令，

令，，，在上单调递减，所以，即，即恒成立．

∴在上是减函数，所以，∴得证，所以成立．

考点：1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2、导数在证明不等式中的应用．