Question

（本小题满分15分）如图，已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．

（Ⅰ）若线段的长为，求直线的方程；

（Ⅱ）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在点或．

【解析】

试题分析：（1）设出直线的方程，与抛物线方程进行联立，利用弦长公式进行求解；（2）假设存在，利用等差中项和恒成立判定是否有解.

试题解析：（Ⅰ）焦点

∵直线的斜率不为，所以设，

，

由得，

，，

，

，

∴， ∴． ∴直线的斜率，

∵，∴，

∴直线的方程为．

（Ⅱ）设，

，

同理，，

∵直线，，的斜率始终成等差数列，

∴恒成立，

即恒成立． ∴，

把，代入上式，得恒成立，．

∴存在点或，使得对任意直线，

直线，，的斜率始终成等差数列．

考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.等差中项.