Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1．

（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；   

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）取中点，作辅助线，先利用面面平行的判定定理证得面面平行，再利用面面平行的性质得出线面平行；（2）利用面面垂直的判定定理进行证明.

试题解析：（Ⅰ）证明 取AD中点E，连接ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，

又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，

所以平面MNE∥平面PCD，

所以MN∥平面PCD．

（Ⅱ）证明 因为ABCD为正方形，

所以AC⊥BD， 又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，

所以AC⊥平面PBD，

所以平面PAC⊥平面PBD.

考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系.