Question

已知是椭圆的左，右顶点，，过椭圆C的右焦点的直线交椭圆于点，交直线于点，且直线的斜率成等差数列,是椭圆上的两动点，的横坐标之和为2，的中垂线交轴于点

（1）求椭圆的方程；（2）求△的面积的最大值

Answer

（1）;（2）．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

试题解析：（1）由题意知，设

，因此，解得

椭圆C的方程

（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于

设，，直线与椭圆联立可得

令，则

故．

考点：（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合应用．