Question

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a_m、a_m+2、a_m+1成等差数列．

（1）求q的值；

（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断S_m、S_m+2、S_m+1是否成等差数列？并说明理由．

Answer

（1）q＝1或－．（2）当q＝1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；q＝－时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列．

【解析】

试题分析：（1）根据三数成等差数列，列出等量关系：2am+2＝am+1＋am ∴2a1qm+1＝a1qm＋a1qm – 1，在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2＝q＋1，解得q＝1或－．（2）根据等比数列前n项和公式分类讨论：若q＝1，Sm＋Sm+1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm+2＝(m＋2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m＋Sm+1若q＝－ ，Sm+2＝·a1＝·a1 ，Sm＋Sm+1＝·a1＋·a1＝·a1＝·a1，∴2 Sm+2＝Sm＋Sm+1

【解析】
（1）依题意，得2am+2＝am+1＋am ∴2a1qm+1＝a1qm＋a1qm – 1

在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2＝q＋1，解得q＝1或－．

（2）若q＝1，Sm＋Sm+1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm+2＝(m＋2)a1

∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m＋Sm+1

若q＝－，Sm+2＝·a1＝·a1

Sm＋Sm+1＝·a1＋·a1＝·a1

＝·a1 ∴2 Sm+2＝Sm＋Sm+1

故当q＝1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；q＝－时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列．

考点：等比数列前n项和公式