Question

已知圆的内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6， CD＝DA＝4，

（1）求角A的大小；

（2）求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）A＝120º（2）8

【解析】

试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由面积公式有四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC，∵A＋C＝180º∴sinA＝sinC∴S＝16sinA．由余弦定理得：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝20－16cosA，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC解之：cosA＝－ , 又0º＜A＜180º, ∴A＝120º，（2）由(1)有四边形ABCD的面积S＝16，所以S＝16sin120º＝8.

【解析】
四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC

∵A＋C＝180º∴sinA＝sinC∴S＝16sinA．

由余弦定理得：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝20－16cosA，

BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝52－48cosC，

∴20－16cosA＝52－48cosC解之：cosA＝－ ,

又0º＜A＜180º, ∴A＝120º，S＝16sin120º＝8

考点：正余弦定理，三角形面积公式