Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中项．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；

（3）若存在n∈N^*，使得S_n+1﹣2≤8n³λ成立，求实数λ的最小值．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）设出等比数列的首项与公比，列出关于的方程组，解得即可；（2）由（1）得出，利用错位相减法求和；（3）先进行变量分离，转化为求关于的函数的最值问题.

规律总结：涉及等差数列或等比数列的通项问题，往往列出关于基本量的方程组，进而求出基本量，数列求和的方法主要有：倒序相加法、裂项抵消法、分组求和法、错位相减法.

注意点：存在n∈N*，使得成立，只需，而不是最大值.

试题解析：（1）设等比数列的公比为q，

∵a1+a2+a3=14，且a2+1是a1，a3的等差中项，

∴，

解得q=2，a1=2，或q=，a1=8（舍）

∴an=2n．

（2）bn=anlog2an=n•2n，

∴，①

2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，②

①﹣②，得

=，

∴．

（3）由（2）知，

原问题等价于：存在n∈N*，使得成立，

令f（n）=，只需λ≥f（n）min即可，

∵f（n+1）﹣f（n）==，

∴f（n+1）﹣f（n）的正负取决于n2﹣2n﹣1=（n﹣1）2﹣2的正负，

∴f（1）＞f（2）＞f（3），f（3）＜f（4）＜…

∴f（n）min=f（3）=，即，

∴λ的最小值是．.

考点：1.数列的通项公式；2.数列的前项和.