Question

某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC＝75°，∠AOB＝30°，∠BOC＝45°，设百米，百米.

（1）试将表示成的函数，并求出函数的解析式；

（2）当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．

Answer

（1）；（2）当米时，整个中转站的占地面积最小，最小占地面积是平方米.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件的特征可以通过面积之间的等量关系寻求满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得，因此要求面积的最小值，即求函数的最小值，通过变形可知利用基本不等式可得：

，当且仅当，即时，等号成立，

从而可得当米时，整个中转站的占地面积最小，最小占地面积是平方米.

试题解析：（1）结合图形可知：，

∴，解得； 6分

（2）由（1）知，，∴

，当且仅当，即时，等号成立， 11分

答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小占地面积是平方米. .....13分

考点：1.三角函数的运用；2.利用基本不等式函数求极值.