Question

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为，圆心角为（弧度）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

Answer

（1）；（2），当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件，将周长米为等量关系可以建立满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为，装饰总费用为

，因此可得函数解析式，而要求的最大值，即求函数的最大值，可以考虑采用换元法令，从而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，当且仅当，时取等号，此时，，因此当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.

试题解析：（1）扇环的圆心角为，则，∴，  3分

（2）由（1）可得花坛的面积为， 6分

装饰总费用为，        8分

∴花坛的面积与装饰总费用的，      10分

令，则，当且仅当，时取等号，此时，， 12分

答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 13分

考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.