Question

已知数列满足：，其中.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）令，求数列的最大项.

Answer

（1）详见解析；（2）最大项为.

【解析】

试题分析：（1）首先根据已知等式，令，可得，再根据已知等式可得，将两式相减，即可得到数列的一个递推公式，只需验证将此递推公式变形得到形如的形式，从可证明数列是等比数列；（2）由（1）可得，从而，因此要求数列的最大项，可以通过利用作差法判断数列的单调性来求得： ，

当时，，即；当时，； 当时，，即，因此数列的最大项为.

试题解析：（1）当时，，∴， 1分

又∵， 2分

∴，即，∴. 4分

又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列； 6分

（2）由（1）知，，

∴， ∴ ， 8分

当时，，即， 9分

当时，， 10分

当时，，即， 11分

∴数列的最大项为， 13分

考点：1.数列的通项公式；2.数列的单调性判断.