Question

已知曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.是曲线上一点，，将点绕点逆时针旋转角后得到点,,点的轨迹是曲线.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程.

（Ⅱ）求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）＝＋，（Ⅱ）[2，4]

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，设M(ρ，θ)，根据知，Q（，θ)，由是曲线上一点，，将点绕点逆时针旋转角后得到点知，P（，），代入曲线的极坐标方程即得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的极坐标方程为）＝＋，所以=＝ (1＋3sin2)，先求的取值范围，利用不等式的性质，即可求出|OM|的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即＋sin2θ＝．

在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，则

题设可知，ρ1＝，α＝. ①

因为点P在曲线C1上，所以＋sin2α＝ ②

由①②得曲线C2的极坐标方程为＝＋. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

＝ (1＋3sin2)．

因为的取值范围是[，]，所以|OM|的取值范围是[2，4]. 10分

考点：直角坐标方程与极坐标方程互化，相关点法求曲线方程，函数的值域