Question

如图，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，

．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD₁A₁；

（Ⅱ）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为，求k的值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取CD的中点为E，连结BE，则ADEB为平行四边形，所以ADBE=4k，所以BC2=BE2+EC2，所以BE⊥DC，所以AD与BC垂直，AA1⊥面ABCD，所以AA1⊥CD，所以CD垂直面AA1D1D；（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DD1为轴，建立空间直角坐标系，写出A、A1，B1，C的坐标，求出面AB1C的一个法向量，算出向量坐标，计算出这两个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列出关于k的方程，若能解出k值..

试题解析：（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE.

∵AB∥DE，ABDE3k，∴四边形ABED为平行四边形， 2分

∴BE∥AD且BEAD4k.

在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE2＋CE2BC2，

∴∠BEC90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD. 4分

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴AA1⊥CD．又AA1∩ADA，

ADD1A1. 6分

（Ⅱ）以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以，，．

设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，

则由得

取y2，得. 9分

设AA1与平面AB1C所成角为θ，则

sin θ|cos〈，n〉|，

解得k1，故所求k的值为1. 12分

考点：面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的计算，推理论证能力，运算求解能力，空间想象能力