Question

如图所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e＝，斜率为2的直线l过点A(2,3)．

(1)求椭圆E的方程；

(2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer

（1）＝1

（2）不存在，见解析

【解析】【解析】
(1)设椭圆E的方程为＝1(a＞b＞0)，

由题意e＝＝，＝1，

又∵c2＝a2－b2，

解得：c＝2，a＝4，b＝2，

∴椭圆E的方程为＝1．

(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0)．

∵PQ⊥l，

∴kPQ＝＝－，

又∵

两式相减得：．

∴＝－＝－×(－)＝，

即＝，③

又∵R(x0，y0)在直线l上，

∴y0＝2x0－1，④

由③④解得：x0＝2，y0＝3，

所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾，

故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点．