Question

(2013·天津模拟)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b₁＝1，且点P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直线y＝x＋2上．

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

(2)求数列{a_n·b_n}的前n项和D_n．

(3)设c_n＝a_n·sin²－b_n·cos²(n∈N^*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer

（1）an＝2an－1(n≥2) bn＝2n－1

（2）Dn＝(2n－3)2n＋1＋6

（3）－2n2－n

【解析】(1)当n＝1时，a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，

所以an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以an＝2n，

又点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以bn＋1＝bn＋2，

所以{bn}是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1．

(2)由(1)知an·bn＝(2n－1)×2n，

所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，①

2Dn＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1．②

①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1

＝(3－2n)2n＋1－6，

则Dn＝(2n－3)2n＋1＋6．

(3)cn＝，

T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(b2＋b4＋…＋b2n)

＝2＋23＋…＋22n－1－[3＋7＋…＋(4n－1)]＝－2n2－n．