Question

(2013·安徽高考)设数列{a_n}满足a₁＝2，a₂＋a₄＝8，且对任意n∈N^*，函数f(x)＝x＋a_n＋1cos x－a_n＋2sin x满足f′＝0．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n＝2，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）an＝n＋1 （2）Sn＝n2＋3n＋1－

【解析】(1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x．

对任意n∈N*，f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，

即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．

由a1＝2，a2＋a4＝8解得{an}的公差d＝1，

所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1．

(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，

Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－．