Question

某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.

（1）证明：直线平面；

（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知，，，（单位：），每平方厘米的加工处理费为元，需加工处理费多少元？

Answer

（1）详见解析；（2）所需加工处理费为元.

【解析】

试题分析：（1）先证，再证平面，从而得到平面，在证明平面的过程中，利用四边形为正方形得到，再由直棱柱的性质得到平面，从而得到，再利用直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）先计算该几何体的表面积，然后利用单价乘以表面积便可以得到加工处理费.

试题解析：（1）因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，

所以AA2⊥AB，AA2⊥AD，又因为AB∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD.

连接BD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA2⊥BD.

因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面．

又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，

平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.于是

由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，

又因为AA2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC2A2.

（2）因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，

所以S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．

又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形．

所以S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面

＝(A1B1)2＋4×(AB＋A1B1)h等腰梯形的高

＝202＋4×(10＋20)

＝1120(cm2)．

于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1300＋1120＝2420(cm2)，

故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2420＝484(元)．

考点：1.直线与平面垂直；2.空间几何体的表面积