Question

已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.

（1）当时,求函数的单调区间；

（2）当时, 若,使得, 求实数的取值范围.

Answer

（1）的单调递增区间为的单调递增区间为；

（2）.

【解析】

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想、化归与转化思想.第一问，数形结合得到的表达式，将代入，因为中有绝对值，所以分和进行讨论，去掉绝对值，对求导判断函数的单调性；第二问，先由和的范围去掉中的绝对值符号，然后对原已知进行转化，转化为，所以下面求是关键，对求导，令解出方程的根，但是得通过的范围判断根在不在的范围内，所以进行讨论，分别求导数判断函数的单调性，确定最值的位置.

试题解析：(I) 因为，其中                  2分

当，，其中

当时，，，

所以，所以在上递增，      4分

当时，，，

令， 解得，所以在上递增

令， 解得，所以在上递减  7分

综上，的单调递增区间为，，的单调递增区间为.

（II）因为，其中

当，时，

因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于

，令，得         8分

当时，即时

对成立，单调递增

所以当时，取得最大值

令  ，解得 ，

所以                          10分

当时，即时

对成立，单调递增

对成立，单调递减

所以当时，取得最大值

令   ，解得

所以                            …12分

综上所述，.                   13分

考点：1.三角形面积公式；2.利用导数判断函数的单调区间；3.利用导数求函数最值.