Question

如图1，在直角梯形中，，，，. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）正弦值为；（3）存在，点E即为所求.

【解析】

试题分析：本题以三棱锥为几何背景考查面面平行和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，首先由点的正投影在上得平面，利用线面垂直的性质，得，在原直角梯形中，利用已知的边和角，得到，，所以得到为等边三角形，从而知是的中点，所以可得，，

利用面面平行的判定得出证明；第二问，先建立空间直角坐标系，写出所需点的坐标，先设出平面的法向量，利用求出，利用夹角公式求直线和法向量所在直线的夹角；第三问，由已知和前2问过程中得到的数据，可以看出，所以点即为所求.

试题解析：（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上，

所以平面，所以，                  1分

因为在直角梯形中，，，，，

所以，，所以是等边三角形，

所以是中点，                     2分

所以，                      3分

同理可证，

又，

所以平面平面.                          5分

（II）在平面内过作的垂线 如图建立空间直角坐标系，则，，，      6分

因为，，

设平面的法向量为 ，

因为，，

所以有，即，

令则  所以 ，                8分

，                   10分

所以直线与平面所成角的正弦值为 .               11分

(III)存在，事实上记点为即可                      12分

因为在直角三角形中，，   13分

在直角三角形中，点，

所以点到四个点的距离相等.                   14分

考点：1.线面垂直的判定；2.中位线的性质；3.面面平行的判定；4.线面角的求法；5.夹角公式；6.向量法.