Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数．

Answer

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、韦达定理等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，由长轴长得出的值，再由离心率得出的值，再计算出的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，由于直线与椭圆相交，所以列出方程组，经过消参，得到关于的方程，因为直线与椭圆有2个交点，所以方程有2个实根，所以方程的判别式大于0，解出的取值范围；第三问，将结论转化为证明，写出点坐标，利用第二问的关于的方程，用韦达定理写出两根之和、两根之积，先用两点的斜率公式列出的斜率，再通分，将上述两根之和两根之积代入化简直到等于0为止.

试题解析： （Ⅰ）由题意知, ，又因为，解得

故椭圆方程为．                        4分

（Ⅱ）将代入并整理得，

，解得.      7分

（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明.

设，

则，.    9分

分子

所以直线的斜率互为相反数.     14分

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.斜率公式；4.韦达定理.