Question

f′（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，若f′（x）-f（x）＜0，若a=e²⁰¹²f（0）、b=e²⁰¹¹f（1）、c=e¹⁰⁰⁰f（1012），则a，b，c的大小关系是    ．

Answer

设g（x）=e2012-xf（x），则g′（x）=-e2012-x•f（x）-e2012-x•f′（x）=-e2012-x[f（x）-f′（x）]，由f′（x）-f（x）＜0，知g（x）=e2012-xf（x）是减函数，由此能比较a=e2012f（0）、b=e2011f（1）、c=e1000f（1012）的大小关系．
【解析】
设g（x）=e2012-xf（x），
则g′（x）=-e2012-x•f（x）-e2012-x•f′（x）
=-e2012-x[f（x）-f′（x）]，
∵f′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）=-e2012-x[f（x）-f′（x）]＜0，
∴g（x）=e2012-xf（x）是减函数，
∵a=e2012f（0）、b=e2011f（1）、c=e1000f（1012），
∴a＞b＞c．
故答案为：a＞b＞c．