Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），，则a，b，c大小关系是（ ）
A．b＞a＞c
B．a＞b＞c
C．a＞c＞b
D．b＞c＞a

Answer

由已知中f（x）+xf′（x），结合导数的运算性质（uv）′=u′v+uv′，构造函数h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．
【解析】
令h（x）=xf（x），
∵函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数
∴h（x）=xf（x）是R上的偶函数，
又∵当x＞0时，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递减函数；
∴h（x）在x∈（-∞，0）时的单调性为单调递增函数．
若a=30.3•f（30.3），，
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，从而h（0）=0
因为log3=-2，所以f（log3）=f（-2）=-f（2），
由0＜logπ3＜1＜30.3＜30.5＜2
所以h（logπ3）＞h（30.3）＞h（2）=f（log3），
即：b＞a＞c
故选A