Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e^x（1-x）；
②f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
③函数f（x）有2个零点；
④∀x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

逐个验证：①为函数对称区间的解析式的求解；②为不等式的求解，分段来解，然后去并集即可；③涉及函数的零点，分段来解即可，注意原点；④实际上是求函数的取值范围，综合利用导数和极值以及特殊点，画出函数的图象可得范围．
【解析】
设x＞0，则-x＜0，故f（-x）=e-x（-x+1），又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（-x）=-f（x）=e-x（-x+1），所以f（x）=e-x（x-1），故①错误；
因为当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，当x＞0时，由f（x）=e-x（x-1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故②正确；
令ex（x+1）=0可解得x=-1，当e-x（x-1）=0时，可解得x=1，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（0）=0，故函数的零点由3个，故③错误；
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2，正确，因为当x＞0时f（x）=e-x（x-1），图象过点（1，0），又f′（x）=e-x（2-x），
可知当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，，f′（x）＜0，故函数在x=2处取到极大值f（2）=，且当x趋向于0时，函数值趋向于-1，
当当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，
由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f（x）的图象，

可得函数-1＜f（x）＜1，故有|f（x1）-f（x2）|＜2成立．
综上可得正确的命题为②④，
故选B