Question

请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式（x∈R，整数n≥2），证明：；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：．

Answer

（I）在等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn，两边对x求导，整理可得结论；
（II）当整数n≥3时，n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1中，令x=-1，可得结论；
（III）当整数n≥3时，n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1中，两边对x求导，令x=-1，可得结论．
（Ⅰ）证明：在等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn
两边对x求导得n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1
移项得；
（Ⅱ）【解析】
当整数n≥3时，n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1中，令x=-1，可得=（-1）n-1n；
（Ⅲ）证明：当整数n≥3时，∵n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1，
求导函数，可得（n-1）n（1+x）n-2=+2Cn2+…+n（n-1）Cnnxn-2，
令x=-1，可得．