Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer

（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a
①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数    …（1分）
②当a＞0时，f（x）在上递增，在单调递减．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减
又
∴
∴当时，方程f（x）=t有两解   …（8分）
（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证：
设，则…（10分）
由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减    …（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）