Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）当=时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer

（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
【解析】
（1）证明：连接BC1，交B1C于E，连接DE．
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，D是AB中点
∴侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线
∴DE∥AC1，
又∵DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD
∴AC1∥平面B1CD．
（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2
∴AC⊥BC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B （3，0，0），A （0，4，0），
A1 （0，0，4），B1 （3，0，4）．
设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），
∵点D在线段AB上，且=，即=
∴a=，b= （7分）
∴=（-3，0，-4），=（，，0）
显然=（0，0，4）是平面BCD的一个法向量
设平面B1CD的法向量为=（x，y，z），那么
由•=0，•=0，得，
令x=1，得=（1，-3，-）（10分）
∴cos===-（12分）
又二面角B-CD-B1是锐角，故其余项值为．