Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（I）将（1，-2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．
【解析】
（I）将（1，-2）代入抛物线方程y2=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=-1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，
由得y2+2y-2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-
又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1
∵t≥-
∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y-1=0