Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．

Answer

（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．
解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，
PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）连接AE，AC，EC，
过E作EG∥PA交AB于点G，
则BG⊥平面ABCD，且EG=PA．
在△PAB中，AP=AB，∠PAB°，BP=2，
∴AP=AB=，EG=．
∴S△ABC=AB•BC=××2=，
∴VE-ABC=S△ABC•EG=××=．