Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA₁=，D 是A₁B₁中点．
（1）求证C₁D⊥平面A₁B；
（2）当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论．

Answer

（1）欲证C1D⊥平面AA1B1B，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C1D与平面AA1B1B内两相交直线垂直，而ABC-A1B1C1是直三棱柱，
则∠A1C1B1=90°，从而C1D⊥A1B1，AA1⊥C1D，满足定理所需条件；
（2）作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点FB1B的中点即为所求，根据C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF，DF∩C1D=D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF．
（1）证明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°．
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．
（2）【解析】
作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．
事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，
∴AB1⊥平面C1DF．
四边形AA1B1B为正方形，此时点F为B1B的中点．