Question

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：
a₁  a₂    a₃     …a_n-1 a_n 第1行
a₁+a₂   a₂+a₃   …a_n-1+a_n  第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和．

Answer

（1）由题设易知，b1=，b2=a1+an，容易得，bk+1=c1+cn-k+1，于是，可证明
（2）由（1）求，=，则ak=2k-1时，akbk=（2k-1）•2k-1，利用错位相减可求数列的和
（1）证明：由题设易知，=，
=．
设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c1，c2…cn-k+1，显然c1，c2…cn-k+1，成等差数列，则它的第k+1行的数是c1+c2，c2+c3…cn-k+cn-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是，bk+1=c1+cn-k+1，于是（1≤k≤n-1，k∈N*）．
故数列b1，b2…bn是公比为2的等比数列．（7分）
（2）由（1）知，=，
故当ak=2k-1时，，．
于是n．  （9分）
设，
则S=1•2+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1①
2S=1•2+3×22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n②
①-②得，-S=1×2+2（2+22+…+2n-1）-（2n-1）•2n，
化简得，S=（2n-1）•2n-2n+1+3，
故=n（2n-1）•2n-n•2n+1+3n．（14分）