Question

如图，AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，VA⊥平面ABC，VA=AB．
（I）证明：平面VAC⊥平面VBC；
（II）当三棱锥A-VBC的体积最大值时，求VB与平面VAC所成角的大小．

Answer

（I）由圆周角定理可得BC⊥AC，由线面垂直的性质可得BC⊥VA，进而由线面垂直的判定定理可得BC⊥面VAC，再由面面垂直的判定定理得到平面VAC⊥平面VBC；
（II）由（I）可得VA为三棱锥V-ABC的高，故△ABC的面积最大时，VA-VBC最大，设BC=x （0＜x＜2a），由基本不等式，可得三棱锥A-VBC的体积最大值时BC的长，结合（1）中BC⊥面VAC，则∠BVC为VB与平面VAC所成角，解三角形可得答案．
证明：（I）∵AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，
∴BC⊥AC，…（2分）
由VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥VA，
而AC∩VA=A，AC，VA⊂平面VAC
∴BC⊥面VAC，…（4分）
由BC⊂平面VBC，
∴平面VAC⊥平面VBC．…（6分）
【解析】
（II）∵VA⊥平面ABC，
∴VA为三棱锥V-ABC的高，
则，
当△ABC的面积最大时，VA-VBC最大．…（8分）
设AB=2a，
设BC=x （0＜x＜2a），则，
则=
∴当x2=2a2时，即时，△ABC的面积最大，VA-VBC最大．…（10分）
由（1）知：BC⊥面VAC，则∠BVC为VB与平面VAC所成角，…（12分）
在Rt△VBC中，，，，
∴∠BVC=30°，
故直线VB与平面VAC所成角为30°．…（14分）