Question

如图，在长方体AC₁中，，点E、F分别是面A₁C₁、面BC₁的中心．以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所为直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：
（1）求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，求出A、F、B、E、C的坐标，求出，即可求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求出，平面BEC的一个法向量，利用，求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．
【解析】
（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），F（1，2，），
B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）．
∴，…（4分）
∴=1-2+1=0…（6分）
所以AF和BE所成的角为90°．…（7分）
（2）设平面BEC的一个法向量为，
又 ，，
则：，．
∴x=0，令z=1，则：，∴=（0，，1）．…（10分）
∴．…（12分）
设直线AF和平面BEC所成角为θ，则：．
即 直线AF和平面BEC所成角的正弦值为．…（14分）