Question

已知数列{a_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，．
（1）若b_n=a_n+1，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的前n项和T_n，求数列{（2n+3）T_n•b_n}前n项和Q_n．

Answer

（1）：由已知可得an+1+1=2（an+1），结合等比数列的通项公式可求
（2）由=，考虑利用裂项求和可求Tn，然后代入（2n+3）Tn•bn=n•2n，再利用错位相减求和即可求解
【解析】
（1）：∵a1=1，an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1）
∴且a1+1=2
∵bn=an+1，
∴且b1=2
∴{bn}是以2为首项以2为公比的等比数列
∴
（2）∵=
∴Tn=b1+b2+…+bn=
==
∴（2n+3）Tn•bn=n•2n
∴
2Qn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得，-=-n•2n+1=（2-n）•2n+1-2
∴